이항정리 - π값을 구하는 법
이항정리 - π값을 구하는 법
$\pi$
여러분은 $\pi$값을 알고 계신가요?
$\pi$는 원의 반지름과 둘레의 비율을 나타내는 값으로, 3.14 언저리의 값이라는 것을 알고 계실겁니다.
$\pi$ Day
동영상에서 보듯이, 피자의 둘레를 펴 지름에 놓으면 3판보다 조금 더 큰 것을 알 수 있습니다.
그렇다면 파이값을 어떻게 구할 수 있을까요?
고대인들도 $π$값을 알고 있었습니다.
한 변의 길이가 1인 육각형의 둘레는 6입니다.
육각형에 외접원을 그리면, 육각형보다 큰 원을 그릴 수 있습니다.
같은 지름을 공유하는 원의 둘레가 더 크므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (원의\ 둘레)=(지름) \times \pi=2\pi > 6 $$ 양변을 2로 나누면,
$$ \pi > 3 $$
$\pi$ 값은 3보다 크다는걸 알았습니다!
한 변의 길이가 2인 사각형은 둘레가 8로, 이전에 그렸던 도형보다 큽니다.
사각형의 둘레가 더 크므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ 2\pi < 8 $$ 양변을 2로 나누면,
$$ \pi < 4 $$
$\pi$는 4보다 작은 값임을 알아냈습니다!
이렇게 다각형을 이용해 근사하는 방법은 2200년전, BC 250년에 아르키메데스가 계산한 방법으로, 내접, 외접한 다각형의 변을 늘려가며 더 정확한 근사치를 구할 수 있습니다. 이 방법은 1000년간 $\pi$ 값을 구하는 방법으로 사용되었습니다.
$$ {223 \over 71} < \pi < {22 \over 7} $$ $$ 3.1408 < \pi < 3.1429 $$ 정구십육각형
사실 이정도만 되어도 실용적인 정확도를 넘어섭니다.
1850년, William Shanks는 15년간 $\pi$값을 계산해 707자리까지 계산합니다.
하지만 527자리부터 오류가 있었죠. 이걸 계산하는데 사용한 사간은 아무것도 아닌 것에 낭비된 것 처럼 보입니다.
이 외에도 $\pi$값을 구하는 방법은 Monte Carlo Simulation, Buffon’s Needles 등 방법이 있지만, 지금 다룰 진짜 주제는 $π$가 아니니 넘어가겠습니다.
적분의 등장
뉴턴과 라이프니츠는 17세기 미적분학의 기본정리를 완성합니다.
-
미분과 적분이 서로 역연산관계에 있습니다.
-
정적분은 부정적분의 차로 구할 수 있습니다.
정적분 값을 계산할수 있게 되면서 $\pi$ 값을 구하는 방법은 변하게 됩니다. 이전까지는 $(원의\ 둘레)=2 \times \pi$를 이용했다면, 이제부터는 $(원의\ 넓이)=r^2 \times \pi$을 이용하게 됩니다.
원의 넓이1
좌표계에서 단위원의 방정식 $x^2+y^2=1$을 나타내면 다음과 같습니다
적분가능한 함수 $y=(1-x^2)^{{1 \over 2}}$로 나타내면
어떻게 적분할 수 있을까요? 안타깝게도, 지금 알고있는 지식으로는 적분할수 없습니다.
그래도 궁금하신 분을 위해
이 식의 부정적분은 다음과 같습니다.
$$ \int \sqrt{{(1-x^2)}} = {{1\over2}}(1-x^2)^{{1\over2}}x+sin(x)^{{-1}}+c $$
이항정리
위의 식을 적분하려면, 이항정리와 이항계수를 알아야 합니다.
이항식은, 두 단항식의 합인 다항식을 말합니다. $$ ax^m-bx^n $$
이항정리는, 이항식의 거듭제곱 $(x+y)^n$을 단항식$ax^by^c$들의 합으로 전개하는 정리입니다.
$$ (x+y)^n=\sum_{{k=0}}^n{{\begin{{pmatrix}} n \ k \end{{pmatrix}}}}x^{{n-k}}y^k=x^n+nx^{{n-1}}y+{{n(n-1) \over 2}}x^{{n-1}}y^2+ ... + ax^by^c + ... + y^n $$
여기에서 $b+c=n$이고, 단항식의 계수$a$는 이항계수라고 불리고
$a={{\begin{{pmatrix}} n\b \end{{pmatrix}}}}={{\begin{{pmatrix}} n\c \end{{pmatrix}}}}$입니다.
n choose b 또는 n개에서 b개를 고르는 조합으로 읽습니다
이항계수(binomial coefficient)
직접 이항식 $(x+1)$의 거듭제곱을 계산해 볼까요? $$ \begin{{aligned}} &(1+x)^0 = 1 \ &(1+x)^1 = 1+x \ &(1+x)^2 = 1+2x+x^2 \ &(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3 \ &(1+x)^4 = 1+4x+6x^2+4x^3+x^4 \ \end{{aligned}} $$
눈치 빠르신 분이라면 $(1+x)^n$이 어떤 형태인지 추측하셨을 겁니다.
위에서 설명했듯이, n항식의 k항의 계수는 조합 ${{\begin{{pmatrix}} n\k \end{{pmatrix}}}} = {{n! \over k!(n-k)!}}$ 또는, ${{Π_{{i=0}}^{{k-1}}(n-i) \over k!}}$와 같습니다.
조합수는 pascal's triangle에서 찾을 수 있습니다. $$ \begin{{array}}{{c}} n=0 &1 \ n=1 &1 \quad 1 \ n=2 &1 \quad 2 \quad 1 \ n=3 &1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \ n=4 &1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \ \end{{array}} $$
이항계수를 구할때, 대수학으로 계산하는 대신 조합수를 사용해 편리하게 계산할 수 있습니다.
일반화된 이항정리
이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수 $\alpha \in \mathbb{{C}}$ 까지 확장할 수 있습니다. 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한급수가 됩니다.
natural numbers($\mathbb N$) - integers($\mathbb Z$) - rational($\mathbb Q$) - real($\mathbb R$) - complex($\mathbb{{C}}$)
음이향계수
음수일때 계승! 은 정의되지 않지만, 다음과 같이 계산합시다. $$ \begin{{aligned}} &-1! = -1\times-2\times-3\times-4...\ &-2! = \quad\quad-2\times-3\times-4...\ &-3! = \quad\quad\quad\quad-3\times-4...\ \end{{aligned}} $$
-1차식의 0항의 계수는 ${{\begin{{pmatrix}} -1 \ 0 \end{{pmatrix}}}} = {{-1! \over 0!-1!}} = 1$ -1차식의 1항의 계수는 ${{\begin{{pmatrix}} -1 \ 1 \end{{pmatrix}}}} = {{-1! \over 1!-2!}} = -1$ -1차식의 2항의 계수는 ${{\begin{{pmatrix}} -1 \ 2 \end{{pmatrix}}}} = {{-1! \over 2!-3!}} = 1$ ...
-2차식의 0항의 계수는
${{\begin{{pmatrix}} -2 \ 0 \end{{pmatrix}}}} = {{-2! \over 0!-2!}} = 1$
-2차식의 1항의 계수는
${{\begin{{pmatrix}} -2 \ 1 \end{{pmatrix}}}} = {{-2! \over 1!-3!}} = -2$
-2차식의 2항의 계수는
${{\begin{{pmatrix}} -2 \ 2 \end{{pmatrix}}}} = {{-2! \over 2!-4!}} = 3$
...
위의 계산을 일반화하면 $$ \begin{{aligned}} {{\begin{{pmatrix}} -r \ k \end{{pmatrix}}}}&={{(-r)(-r-1)...(-r-k+1) \over k!}} \ &=(-1)^k{{(r)(r+1)...(r+k-1) \over k!}} \ &=(-1)^k{{\begin{{pmatrix}} r+k-1 \ k \end{{pmatrix}}}} \end{{aligned}} $$
음이항계수를 파스칼의 삼각형에 이어서 그려볼까요?
$$ \begin{{array}}{{c}} n=-4&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1 \quad -4 ...\ n=-3&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1 \quad -3 \quad\quad 6 ...\ n=-2&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1 \quad -2 \quad\quad 3 \quad -4 ...\ n=-1&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad 1 \quad -1 \quad\quad 1 \quad -1 \quad\quad 1 ...\ n=0 &1 \ n=1 &1 \qquad 1 \ n=2 &1 \qquad 2 \qquad 1 \ n=3 &1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1 \ n=4 &1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1 \ \end{{array}} $$
분수계수
이항계수는 분수일 때도 정의할 수 있습니다.
$1\over2$에서 이항계수를 살펴봅시다.
$1\over2$차식의 0항의 계수는
${{\begin{{pmatrix}} 1\over2 \ 0 \end{{pmatrix}}}} = {{{{1\over2}}! \over 0!{{1\over2}}!}} = 1$
$1\over2$차식의 1항의 계수는
${{\begin{{pmatrix}} 1\over2 \ 1 \end{{pmatrix}}}} = {{{{1\over2}}! \over 1!-{{1\over2}}!}} = {{1\over2}}$
$1\over2$차식의 2항의 계수는
${{\begin{{pmatrix}} 1\over2 \ 2 \end{{pmatrix}}}} = {{{{1\over2}}! \over 2!-{{3\over2}}!}} = {{-{{1\over4}} \over 2!}} = -{{1\over8}}$
...
원의 넓이2
이항식의 분수 거듭제곱에서 이항계수를 구하는 법을 알았으니, $(1-x^2)^{{1 \over 2}}$식을 전개할 수 있습니다!
편의를 위해 $-x^2=t$로 놓으면, $$ (1+t)^{{1 \over 2}}=1+{{1\over 2}}t-{{1\over 8}}t^2+{{1\over 16}}t^3 - ... $$ 다시 x에 대해서로 바꿔줍시다 $$ (1-x^2)^{{1 \over 2}}=1-{{1\over 2}}x^2-{{1\over 8}}x^4-{{1\over 16}}x^6 - ... $$
[0,1] 구간의 정적분을 구하면
이 값은 무한히 전개되므로 전부 계산할 수 없습니다. 하지만 원의 넓이 π의 1/4, π/4를 나타낸다는 것을 알고 있습니다.
$$ \begin{{aligned}} {{\pi \over 4}} &= \int_0^1[1-{{1\over2}}x^2-{{1\over8}}x^4-{{1\over16}}x^6-...]dx\ &=[x-{{1\over6}}x^3-{{1\over40}}x^5-{{1\over112}}x^7-...]^1_0 \ &={{533\over672}}=0.79315476190 \end{{aligned}} $$
위 식을 네번째 항까지 계산한 $\pi$ 값은 3.172619047 입니다!
다섯째 항까지 계산하면 4x(6361/8064)=3.15525793650로 점점 정확해짐을 알 수 있습니다
원의 넓이3
정적분의 범위를 [0, 1/2]로 설정하면 정적분의 값을 더 빠르게 구할 수 있습니다.
피타고라스와 삼각함수 덕에 이 넓이는 쉽게 알 수 있습니다.
밑변의 길이가 1/2이고 빗변이 1인 삼각형은 사이각이 60도 입니다. 따라서, 이 부분의 넓이는 원의 넓이 π의 12분의 1인 원뿔과 밑변이 $1\over2$, 높이가 $\sqrt{{3}}\over2$인 삼격형 넓이의 합입니다.
$$ {{\pi\over12}} + {{\sqrt{{3}}\over8}} $$
정적분과 이항정리를 통한 다항식의 전개로 $\pi$를 계산하는 방법은 뉴턴이 제안했습니다. 아르키메데스의 방법과 정확도를 비교해보면, 4천조(兆)각형을 계산할 때와 뉴턴 급수의 50개의 항을 계산했을때가 같습니다.