다양한 급수

다양한 급수

급수

급수(級數)는 수열의 모든 항을 더한 값입니다. 여기에서는 무한한 항의 합인 무한급수 에 대해 다룹니다.

멱급수

멱급수 또는 거듭제곱 급수(Power series)는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수이자, 중심이 같은 멱함수를 항으로 하는 무한급수입니다.

실수체 또는 복소수체 $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R,C}\}$에서 중심 $x_0 \in \mathbb{K}$의 멱급수는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\huge \sum_{n=0}^{\infty}{\color{red}a_n}(x-{\color{blue} x_0})^n$$

자세히 살펴보면 등차수열$\color{red}a_n$과 등비수열$(x-{\color{blue} x_0})^n$로 이루어져 있습니다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 $x \in \mathbb{K}$의 집합을 멱급수의 수렴영역(domain of convergence)이라고 합니다. 실수 영역에선 수렴구간(interval of convergence) 복소수 영역에선 수렴원판(disc of convergence)라고 구분하기도 합니다.

테일러 급수

테일러 급수(Taylor series) 또는 테일러 전개(Taylor expansion)는 도함수들의 한 점에서 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타냅니다. 복잡한 함수를 다루기 쉬운 다항함수로 바꿔줌으로써, 정적분의 값을 근사적으로 구할 수 있습니다.

매끄러운 함수(Smooth function) $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 및 실수 $a \in \mathbb{R}$ (또는, 복소수계의 정칙함수)이 주어졌을 때, $f$의 테일러 급수는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\huge f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\color{red}{f^{(n)}(x_0) \over n!}}(x-{\color{blue} x_0})^n$$

여기에서 $\color{red}{f^{(n)}(x_0)}$는 $f$의 $x_0$에서 $n$계 도함수를 말합니다. 특히 0계 도함수는 원래 함수 자신입니다.

테일러 급수는 오차를 가지고 있습니다.

$$\huge \sum_{\color{green}k=0}^{\color{green}n}{f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k + \color{green}{R_{n+1}(x)}$$

마지막 항인 $\color{green}{R_{n+1}(x)}$을 $f$의 나머지 항 또는 절단오차라고 합니다. $[x_0,x]$ 또는 $[x,x_0]$에 속하는 적당한 실수 b에 대해서 다음과 같이 표현됩니다.

$$\huge {R_{n+1}(x)} = {f^{\color{green}(n+1)}({\color{green}b}) \over \color{green}(n+1)!}(x-x_0)^{\color{green}n+1}$$

이 오차가 0으로 원래 함수로 수렴하는 경우 해석 함수라고 합니다.

테일러 전개

다항식이 아닌 함수를 테일러 급수로 만들어 봅시다.
예를 들어 자연상수 e의 거듭제곱

$$f(x)=e^x$$

$$a_n={f^{(n)}(x_0) \over n!}$$

를 살펴봅시다.

$\bold{e^x}$를 무한개의 항을 가진 다항식으로 가정하면,

$$e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+...$$

입니다.

$\bold{a_0}$를 계산해 볼까요? $a_0={f(0) \over 0!}=e^0=1$ 이므로,

$$e^x=1+a_1x+a_2x^2+a+3x^3+a_4x^4+...$$

다항식을 미분하면

$$e^x=a_1+a_22x+a_33x^2+a_44x^3+...$$

입니다.

$\bold{a_1}$도 계산해 봅시다. $a_1={f'(0) \over 1!}=1$ 이므로

$$e^x=1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...$$

다항식을 미분하면

$$e^x=2*a_2+(2*3)a_3x+(4*3)a_4x^2+...$$

마찬가지로 $a_2={f''(0) \over 2!}$이고 $a_n={1 \over n!}$임을 알 수 있습니다.

따라서 $e^x$는 처음 식에서

$$e^x=1+x+{x^2 \over 2!}+{x^3 \over 3!}+{x^4 \over 4!}+...$$

로 테일러 전개 되는 것을 알 수 있습니다.

매클로린 급수

$x_0=0$일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 합니다.

$$\huge f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}({\color{green} 0}) \over n!}x^n$$

모든 다항식에서 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이 됩니다.

이항급수

복소수 $a \in \mathbb C$가 주어졌을 때, 이항급수는 $(1+x)^\alpha$의 매클로린 급수입니다.

$$\huge f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\color{red}{(\alpha)_k \over n!}}x^n$$

여기서 $\color{red} (\alpha)_k$는 조합(combination)에서 하강계승입니다.

자세한 내용은 이항정리를 참고해 주세요.

References

[wiki]멱급수
[wiki]테일러 급수
[wiki]매클로린 급수
[wiki]이항 급수