정보 이론
TMI
이 글은 이전에 작성한 제 포스트를 재구성했습니다.(가장 인기있던 포스트)
네이버에 정보이론을 검색해보니 EBS에서 쉽게 설명한 자료가 있네요.
[중2 확률의 계산]정보이론의 아버지, 클로드 섀넌
목차
- 엔트로피란?
- 엔트로피의 계산
- 결정트리에서
- 통신에서
엔트로피란?
플레잉 카드(playing card), 혹은 트럼프(trump)는 스페이드, 다이아몬드, 하트, 클로버 각각 13장씩, 한벌에 총 52장의 카드로 이루어졌다.
한 세트의 잘 섞인 플레잉 카드가 있다고 하자
당신은 스페이드 에이스 한 장을 가지고 있다. 다음에 한 장을 뽑는다면 어떤 카드인지 예측할 수 있는가?
반대로, 스페이드 에이스를 제외한 51장의 카드를 가지고 있다. 다음에 뽑을 한 장이 어떤 카드인지 예측할 수 있는가?
정보 이론은 정보(데이터)를 정량화 하기 위해 만들어졌다. 앞선 예제에서 보듯, 많은 정보를 알수록 새롭게 알 수 있는 정보가 적어진다. 즉 높은 확률 또는 자주 일어나는 일일수록 적은 정보로 표현 가능하다.
동음이의어도 많은 사전 정보(=문맥)을 가지면 특정 단어로 유추 가능하다
임의의 변수에 대한 엔트로피는 변수에서 일어날 수 있는 가능한 정보, 사건, 불확실성의 평균값을 말한다. (the entropy of a random variable is the average level of "information", "surprise", or "uncertainty" inherent in the variable's possible outcomes.)
이 글에서 다루는 엔트로피는 정보 엔트로피로 저장 또는 통신에 사용되는 평균적인 비트 수로 표현된다.
정보 엔트로피는 벨 연구소의 클로드 섀넌이 발표한 논문에서 도입된 개념이다.
따라서 정보 엔트로피를 Shannon entropy, S로 표시하기도 한다.
Claude Shannon, 1948. A Mathematical Theory of Communication
엔트로피의 계산
다음과 같은 원소 집합을 가정하자.
M = {m1, m2, ... , mn}
여기에서 특정한 원소 mi의 발생 확률을 p(mi)라고 하면 예상되는 정보량 I(M)은
I(mi) = log2(1/p(mi)) = -log2(p(mi))
이다. 증명
확률분포의 역수를 취하는 형태로, 낮은 확률일 수록 높은 정보량을 가짐을 보여준다.
알파벳 집합 M = {a, b, ... , z} 에서 특정한 알파벳 mi가 나올 정보량은
I(mi) = log2(1/1/26) = log2(26) = 4.7004...
즉, 5개의 비트로 모든 알파멧의 등장 확률을 표현할 수 있다. (2^5=32>26)
전체 집합이 가지는 엔트로피 E(M)은
E(M) = sum(p(mi)*I(mi)) = sum(-p(mi)*log2(p(mi)))
로 (일어날 확률)*(정보량)의 합이다.
주사위 집합 M = {1, 2, ... , 6} 에서 상황별 엔트로피를 살펴보자주사위 각 숫자에 한명씩 배팅한 경우
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => p(mi)=1/6
E(M) = 6(-1/6 log2(1/6)) = 2.5850...주사위 1에 배팅한 경우(1 or 나머지)
M = {H(1), L(2, 3, 4, 5, 6)} => p(H) = 1/6, p(L) = 5/6
E(M) = (-1/6 log2(1/6)) + (-5/6 log2(5/6)) = 0.1957...짝수에 배팅한 경우(2,4,6 or 1,3,5)
M = {H(2, 4, 6), L(1, 3, 5)} => p(H) = 1/2, p(L) = 1/2
E(M) = (-1/2 log2(1/2)) + (-1/2 log2(1/2)) = 11~6중 하나라도 나오는 경우
M = {H(1, 2, 3, 4, 5, 6)} => P(H) = 6/6
E(M) = (-1*log2(1)) = 0
결정트리에서
고전적인 인공지능 기법에서 결정 트리(Decision Tree)의 탐색 순서에도 사용된다.
결정 트리의 성능은 tree node 조회 횟수외 직결되기 때문에,
정보량이 가장 적은(가장 확실한 결과) node를 우선적으로 선택해야 할 것이다.
(추후 작성)
통신에서
정보이론은 통신에서 먼저 연구된 분야인 만큼 전자 통신에서 압축, 오류 감지에도 유용하게 사용된다.
데이터링크 계층에서 사용되는 해밍 코드, BCH 등 checksum bit 또한 정보이론을 기반으로 설계되었다.
(추후 작성)
