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다양한 급수

· 5 min read
Jeongwon Her

power series 다양한 급수

급수

급수(級數)는 수열의 모든 항을 더한 값입니다. 여기에서는 무한한 항의 합인 무한급수 에 대해 다룹니다.


멱급수

멱급수 또는 거듭제곱 급수(Power series)는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수이자, 중심이 같은 멱함수를 항으로 하는 무한급수입니다.

실수체 또는 복소수체 K{R,C}\mathbb{K} \in \{\mathbb{R,C}\}에서 중심 x0Kx_0 \in \mathbb{K}의 멱급수는 다음과 같이 정의됩니다.

n=0an(xx0)n\huge \sum_{n=0}^{\infty}{\color{red}a_n}(x-{\color{blue} x_0})^n

자세히 살펴보면 등차수열an\color{red}a_n과 등비수열(xx0)n(x-{\color{blue} x_0})^n로 이루어져 있습니다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 xKx \in \mathbb{K}의 집합을 멱급수의 수렴영역(domain of convergence)이라고 합니다. 실수 영역에선 수렴구간(interval of convergence) 복소수 영역에선 수렴원판(disc of convergence)라고 구분하기도 합니다.







테일러 급수

테일러 급수(Taylor series) 또는 테일러 전개(Taylor expansion)는 도함수들의 한 점에서 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타냅니다. 복잡한 함수를 다루기 쉬운 다항함수로 바꿔줌으로써, 정적분의 값을 근사적으로 구할 수 있습니다.

매끄러운 함수(Smooth function) f:RRf:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 및 실수 aRa \in \mathbb{R} (또는, 복소수계의 정칙함수)이 주어졌을 때, ff의 테일러 급수는 다음과 같이 정의됩니다.

f(x)=n=0f(n)(x0)n!(xx0)n\huge f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\color{red}{f^{(n)}(x_0) \over n!}}(x-{\color{blue} x_0})^n

여기에서 f(n)(x0)\color{red}{f^{(n)}(x_0)}ffx0x_0에서 nn계 도함수를 말합니다. 특히 0계 도함수는 원래 함수 자신입니다.

테일러 급수는 오차를 가지고 있습니다.

k=0nf(k)(x0)k!(xx0)k+Rn+1(x)\huge \sum_{\color{green}k=0}^{\color{green}n}{f^{(k)}(x_0) \over k!}(x-x_0)^k + \color{green}{R_{n+1}(x)}

마지막 항인 Rn+1(x)\color{green}{R_{n+1}(x)}ff나머지 항 또는 절단오차라고 합니다. [x0,x][x_0,x] 또는 [x,x0][x,x_0]에 속하는 적당한 실수 b에 대해서 다음과 같이 표현됩니다.

Rn+1(x)=f(n+1)(b)(n+1)!(xx0)n+1\huge {R_{n+1}(x)} = {f^{\color{green}(n+1)}({\color{green}b}) \over \color{green}(n+1)!}(x-x_0)^{\color{green}n+1}

이 오차가 0으로 원래 함수로 수렴하는 경우 해석 함수라고 합니다.




테일러 전개

다항식이 아닌 함수를 테일러 급수로 만들어 봅시다.
예를 들어 자연상수 e의 거듭제곱

f(x)=exf(x)=e^x
an=f(n)(x0)n!a_n={f^{(n)}(x_0) \over n!}

를 살펴봅시다.

ex\bold{e^x}를 무한개의 항을 가진 다항식으로 가정하면,

ex=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+...e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+...

입니다.





a0\bold{a_0}를 계산해 볼까요? a0=f(0)0!=e0=1a_0={f(0) \over 0!}=e^0=1 이므로,

ex=1+a1x+a2x2+a+3x3+a4x4+...e^x=1+a_1x+a_2x^2+a+3x^3+a_4x^4+...

다항식을 미분하면

ex=a1+a22x+a33x2+a44x3+...e^x=a_1+a_22x+a_33x^2+a_44x^3+...

입니다.





a1\bold{a_1}도 계산해 봅시다. a1=f(0)1!=1a_1={f'(0) \over 1!}=1 이므로

ex=1+2a2x+3a3x2+4a4x3+...e^x=1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...

다항식을 미분하면

ex=2a2+(23)a3x+(43)a4x2+...e^x=2*a_2+(2*3)a_3x+(4*3)a_4x^2+...

마찬가지로 a2=f(0)2!a_2={f''(0) \over 2!}이고 an=1n!a_n={1 \over n!}임을 알 수 있습니다.





따라서 exe^x는 처음 식에서

ex=1+x+x22!+x33!+x44!+...e^x=1+x+{x^2 \over 2!}+{x^3 \over 3!}+{x^4 \over 4!}+...

로 테일러 전개 되는 것을 알 수 있습니다.







매클로린 급수

x0=0x_0=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 합니다.

f(x)=n=0f(n)(0)n!xn\huge f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}({\color{green} 0}) \over n!}x^n

모든 다항식에서 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이 됩니다.







이항급수

복소수 aCa \in \mathbb C가 주어졌을 때, 이항급수는 (1+x)α(1+x)^\alpha의 매클로린 급수입니다.

f(x)=n=0(α)kn!xn\huge f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\color{red}{(\alpha)_k \over n!}}x^n

여기서 (α)k\color{red} (\alpha)_k는 조합(combination)에서 하강계승입니다.

자세한 내용은 이항정리를 참고해 주세요.



References

[wiki]멱급수
[wiki]테일러 급수
[wiki]매클로린 급수
[wiki]이항 급수